ТЕМА 7. Исследование функций

     Одним из важнейших приложений дифференцированного исчисления является исследование функции с целью построения ее графика.
     Определение. Функция у=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при х2>х1,f(x2) >f(х1), и убывающей, если f(x2)<f(х1) .
     Достаточные признаки возрастания и убывания функции:
     если функция f(x)в каждой точке интервала (a,b) имеет положительную производную, то сама функция в этом интервале возрастает;
     если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет отрицательную производную, то функция в этом интервале убывает.
     Определение. Функция у=f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х=х0, если f(x0) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки.
     Необходимое условие экстремума функции
     Если функция у=f(x) имеет экстремум в точке х=х0, то ее производная в этой точке равна нулю, либо не существует.
     Значения аргумента, при которых функция f(x) сохраняет непрерывность, а ее производная f'(x) обращается в нуль или не существует, называются стационарными или критическими точками.
     Первый достаточный признак экстремума функции
     Если функция у=f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки х0 и ее производная слева от этой точки положительная, а справа отрицательная, то в точке х0 функция достигает максимума; если производная слева от стационарной точки х0 отрицательная, а справа – положительная, то в точке х0 функция достигает минимума; если производная слева и справа от стационарной точки х0 имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.
     Второй достаточный признак экстремума
     Если в стационарной точке х0 вторая производная отлична от нулю, то в этой точке функция у=f(x) имеет максимум при f''(x0)<0 и минимум при f''(x0)>0.
     Определение. Кривая у=f(x) называется выпуклой на интервале (a,b ), если при a<x<b она расположена ниже касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b).
     Определение. Кривая у=f(x) называется  вогнутой на интервале (a,b ), если при a<x<b она расположена выше касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b).
     Определение. Точки, отделяющие выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой (или наоборот), называются точками перегиба кривой.
     Признаки выпуклости и вогнутости кривой.
     Если вторая производная функции y''(x) положительна во всех точках интервала (a,b ), то на этом интервале график функции является вогнутым.
     Если вторая производная функции y''(x) отрицательная во всех точках интервала (a,b ), то на этом интервале график функции является выпуклым.
     Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
     Если  или , то прямая х=а является вертикальной асимптотой кривой у =f(x).
     Прямая у=b является горизонтальной асимптотой кривой у=f(x), если существует предел  или .
     Если существуют пределы , то прямая у=kx+b есть наклонная асимптота кривой у=f(x).
     Для построения графика функции ее можно исследовать по следующей схеме:
     1. Найти область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции. Найти вертикальные асимптоты, исследуя изменение функции при х, стремящемся к точкам разрыва функции.
     2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
     3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции. Вычислить значения экстремумов.
     4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти точки перегиба.
     5. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты кривой (если они существуют). Найти точки пересечения кривой с осями координат (если они существуют).
     Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.
     Решение. Функция у(х) точек разрыва не имеет. Область определения – вся числовая ось. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.
     Исследуем данную функцию на экстремум. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем ее к нулю: y'=x2–2x–3, x2–2x–3=0.
     Решая последнее уравнение, находим его корни: х1=–1,х2=3. Таким образом, х1=–1 и х2= 3 – критические точки. Так как производная f'(x) -существует при любом значении х, то других критических точек не имеется.
     Исследуем критическую точку х=–1. Производную y'(x) представим в виде произведения двух сомножителей: y'=(x+1)(x–3). Из этого равенства видно, что при x<–1 производная f'(x) положительная, а при –1<x<3производная f'(x) отрицательна. Следовательно, в интервале (–∞, –1) функция возрастает, в интервале (–1,3 )– убывает, а в интервале (3,∞) - возрастает. Так как производная y' при переходе через критическуюточку х=–1 меняет свой знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.
     Аналогично исследуем точку х2=3. и убеждаемся, что в этой точке функция имеет минимум. Найдем экстремум . Из второй производной y''(x)=2x–2 найдем точку х=1, подозрительную на точку перегиба. Так как при переходе через эту точку y''(x) меняет знак, то точка х=1 является точкой перегиба. В интервале (–∞, 1) график функции является выпуклым, так как y'' (x)<0; в интервале (1,+ ∞) – график вогнут, так как y'' (x )>0. Строим график.
     Пример . Исследовать функцию  и построить ее график.
     Решение. Найдем производные: .
     Область определения .
     Свойствами четности, нечетности функция не обладает. График пересекается с осью Ох в точке . Критические точки: х=2, х=0. Последняя не входит в область определения, поэтому ее не рассматриваем. Найдем у(2)=3 и нанесем точку (2,3) на плоскость Оху.
     Исследуем поведение у в окрестности точки х=2. При 0<х<2, y'<0, при х>2,  y'>0. Следовательно в точке х=2 функция имеет минимум. На промежутке (–∞,0)    y' >0, следовательно функция возрастает. Исследуем направление выпуклости графика. Всюду y''>0, следовательно точек перегиба нет и кривая всюду вогнута. Исследуем функцию вблизи точки разрыва непрерывности х =0 и при х→∞, х→–∞:
    
     Прямая х=0 – вертикальная асимптота.
     Найдем наклонную асимптоту y=kx+ b:
    
    
     Получим наклонную асимптоту у=х. Строим график функции.
    

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. Каковы признаки возрастания и убывания функции?
  2. Покажите, что функция ух возрастает, а функция  у=-х3–2х убывает в любом промежутке.
  3. Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы и минимумы функции? Сформулируйте два правила. Что такое стационарная (критическая) точка?
  4. Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.
  5. Чем отличается максимум функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего значения? То же о минимуме и наименьшем значении функции.
  6. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке? Всегда ли они существуют?
  7. Как находятся интервалы  выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции? Приведите примеры.
  8. Что называется асимптотой кривой?
  9. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции?
  10. Каковы основные пункты общей схемы исследования функции и построения ее графика?
назад